1. ábra: A torony alakját meghatározó erők és erőkarok sematikus rajza.
Elmélkedésnapló - 2009. február 2.
- Joseph Gallant cikkéből fordította és átdolgozta Raffai Péter -
Az Eiffel-torony a világ egyik legismertebb építménye. Tervezője, Gustav Eiffel az 1889-es párizsi világkiállításra kívánta megépíttetni, a Nagy Francia Forradalom centenáriumát megünneplendő, valamint a XIX. századi tudományos és technikai fejlődés demonstrálására. A 300 méteresre tervezett torony vázlatát 700, névtelenül benyújtott pályamunkából válaszotta ki egy, az alkalomra felkért párizsi döntőbizottság. 1889 márciusi megnyitásakor a torony a világ legmagasabb épületének számított, mely státuszát 1930 májusáig, a 319 méteres, New York-i Chrysler toronyház megnyitásáig őrizte is (egy esztendővel később az újabb rekordot a 102 emeletes Empire State Building állította fel a maga 381 méterével, s maradt is világelső szerepben 41 éven át).
Az Eiffel-torony szerkezetében négy íves tartóláb fut össze egyetlen hegyes oszloppá, mely aztán 275 méteres magasságig ér fel (a toronynak két szintje van, 57 és 115 méternél). A torony legtetején Eiffel egy kis apartmant rendezett be magának, melynek irodahelyiségében egy alkalommal vendégül látta Thomas Edisont is, 1899-ben. Az apartmanrészből csigalépcső fut felfelé, majd a torony egy zászlórúdban végződik, elérve ezzel a végső, 312 méteres magasságot.
Egy ilyen torony tervezése komoly kihívásokat hordozott magában. Ahogy Eiffel maga mondta: "Milyen jelenséget kellett leginkább figyelembe vennem a torony tervezésekor? A széllel szembeni ellenállását. Úgy gondolom, az ív, amelyet erre tekintettel matematikai számolással dolgoztam ki, a szépség és erő benyomását fogja kelteni."
A történelem igazolta Eiffel vélekedését, s a legtöbb ember ma a tornyot csodálatos építménynek ismeri el - ám ez nem volt mindig így. Még a torony elkészülte előtt egy, 300 (szimbolikusan a torony minden méterére jutó) prominens francia személyiség aláírásával ellátott tiltakozó petíciót adtak át a városvezetésnek, felhívva a figyelmet "az Eiffel-torony haszontalan és szörnyűséges mivoltára". A tiltakozók hívták a tornyot először "Eiffel-toronynak", Eiffel maga folyamatosan csak a "300 méteres toronyként" hivatkozott alkotására. A név azonban az építményen ragadt, mely azóta is Párizs legismertebb szimbólumaként szolgál.
A torony egyedülálló alakját azon egyszerű fizikai elv alakította ki, miszerint a szél maximális forgatónyomatékát, amit a toronyra kifejt, egyensúlyozza ki a torony saját súlyából eredő forgatónyomaték. A forgatónyomatékok egyensúlyából kiszámolható az a torony alak, ami a szélnek a lehető legjobban ellenáll. A toronylábak görbületi ívét úgy tervezték, hogy a torony bármely magassága feletti részének függőlegesen lefelé ható súlyerejét, valamint a szél rá vízszintesen ható tolóerejét a torony alsóbb részei együttesen ellensúlyozzák. Hogy ezt az egyensúlyt elérje, Eiffel a tartólábak burkológörbéjét úgy választotta, hogy a nevezett erők eredő iránya egy adott magasságon a görbe ahhoz a magassághoz tartozó érintőjével essen egybe. Másként fogalmazva Eiffel feltétele azt mondja ki, hogy a torony egy adott magasság feletti részét érő szél forgatónyomatéka tartson egyensúlyt a toronyrész súlyerejének forgatónyomatékával.
Célunk, hogy meghatározzuk azt az f(x) matematikai függvényt, amely a torony alakját adja meg a magasság-félszélesség formájában. A problémát az 1. ábra szemlélteti.
1. ábra: A torony alakját meghatározó erők és erőkarok sematikus rajza.
A torony egy H magasságán vízszintesen beérkező szél az ábrán jobb oldalról fejt ki az óramutató járásával ellentétes irányú forgatónyomatékot a torony egy szeletére, míg a súlyerő ezzel ellentétes irányú forgatónyomatékot hoz létre. A forgatás centruma a torony bal oldalának azon pontja, ahol a torony, annak legalján a talajjal érintkezik. Az f(x) függvény x futó koordinátáját a talajszinttől mérve felfelé tekintjük növekedőnek, a pozitív f(x) értékeket pedig e függőleges irányra merőlegesen, balra vesszük fel. Ez megfelel annak, mintha a szokásos x-y koordinátarendszert az óramutató járásával ellentétes irányba 90°-kal elforgattuk volna.
A torony egy dx vastagságú szeletét véve x magasságnál, a szelet súlya arányos annak térfogatával:
,
ahol rho a torony sűrűsége, míg g a gravitációs gyorsulás. A súlyerő erőkarjának hossza a forgatási centrumból nézve f0, ami a torony félszélessége a talajszintnél mérve.
Az x magasságban található dx vastagságú szeletre ható szélerő a szelet oldalfelületének nagyságával arányos:
,
ahol P a legnagyobb szélnyomás érték, amit a torony x magasságban még képes elviselni anélkül, hogy feldőlne. A szélerő erőkarja a forgáscentrumból nézve megegyezik a szóban forgó x magassággal, ahol az erő hat.
Jóllehet a torony alakját e két forgatónyomaték egyensúlya kell, hogy meghatározza, a toronyra egy ellenható forgatónyomaték is fog hatni, amit a talaj fejt ki a szerkezetre. Ennek a forgatónyomatéknak a nagysága (H-x)-szel kell arányosnak lennie, mert azzal van összefüggésben, hogy a torony mennyire felel meg az Eiffel által kiszabott statikai feltételnek. A torony legalsó része nem befolyásolja a torony alakját (hiszen egy elegendően nehéz aljzat bármilyen alak esetén egyensúlyban tudná tartani a tornyot), ugyanakkor a torony szélessége egy adott magasságnál igenis függ a legalsó rész méretétől.
Eiffel statikai feltétele kifejezhető az alábbi integrálegyenlettel:
ahol 
a legnagyobb szélnyomás, amit a torony felborulás nélkül kibír, dimenziótlan formában. w(x) nevezője a torony talapzatának méretével arányos, ami egyben a feladat méretskáláját is lerögzíti. w(x) továbbá azért függhet az x magasságtól, mert mind a torony anyagsűrűsége, mind a szélnyomás változhat az x magassággal.
Az (1) egyenletet x szerint deriválva a következőt kapjuk:
Az egyenletbe x=0-át helyettesítve megkapjuk az eddig ismeretlen állandó értékét, ami 1/2*f02. Ezzel a (2) egyenlet a következők szerint módosul:
A másodfokú egyenlet megoldóképletét használva ebből már kifejezhetjük az f(x) függvényt. Mivel a torony a talpazatánál kell, hogy a legszélesebb legyen, a két lehetséges megoldás közül a negatív előjelűt választjuk ki:
A kapott f(x) a torony jobboldali (negatív) burkolóját adja meg, a baloldali burkolónak a -f(x) kifejezés felel meg.
Az egyetlen, ami még hátra van a teljes megoldáshoz, hogy feltételként kikössük, mekkora legyen a szélnyomás maximuma, w(x), az x magasság függvényében. A w(x) definíciójából, valamint az Eiffel-torony tényleges szélességéből arra számítunk, hogy w(x) értékei az 1 nagyságrendjébe fognak esni. A (4) egyenlet legegyszerűbb alakot akkor ölti, ha állandó nagyságú maximális szélnyomást feltételezünk bármely magasságnál, azaz w(x)=w0=állandó. Ez látszólag jól visszaadja az Eiffel-torony tényleges alakját, a pontos kvantitatív jellemzőit azonban nem. A 2. ábra az f(x) függvényt ábrázolja, w(x)=w0=állandó három különböző értéke mellett, valamint az Eiffel-torony valódi alakjának megfelelő burkológörbét.
2. ábra: Az Eiffel-függvény háromféle állandó szélnyomásérték mellett (jobbra a w0=0.700 és w0=1.33 értékeknek megfelelő görbék, míg balra a w0=1.00 értékhez tartozó görbe). A különálló adatpontok az Eiffel-torony valódi alakját követik.
w0=0.700 mellett az f(x) jól közelíti a valódi alakot alacsony magasságoknál, de felfelé haladva a valódi alaknál jobban kiszélesedik. Eszerint a toronynak szélesebbnek kell lennie ahhoz, hogy kisebb szélnyomásnak ellenálljon. w0=1.33 esetén az f(x) a valódi burkolót nagy magasságoknál adja meg jól, a talapzathoz közeledve azonban túl kicsi szélességűvé válik. Ilyenkor a toronynak kisebb szélességűnek kell lennie, hogy a szélnyomás forgatónyomatékát kiegyensúlyozza. Az ábrán balra a w0=1.00 választásnak megfelelő görbét láthatjuk, ami a valódi alakot közepes toronymagasságnál közelíti legjobban.
Ezek az eredmények azt sugallják, hogy Eiffel olyan w(x) szélnyomás profilt használt, ami lassan változó és kis értékeket vesz fel alacsony magasságoknál, gyorsan megnő közepes magasságokig, és egy nagyobb állandó értékig nő fel a torony csúcsához érve. A szélnyomásból eredő erő (és forgatónyomaték) nő nagyobb magasságok felé haladva, a torony keresztmetszeti mérete azonban felfelé haladva csökken. Felhasználva a (4) egyenletet, a torony valódi paramétereihez illesztve egy köbös kifejezést választhatunk w(x) szélnyomás függvénynek:
Az illesztéssel kapott w(x) függvényt a 3. ábrán tüntettük fel, míg az ezzel eredményül kapott torony alakot a 4. ábrán adtuk meg, az Eiffel-torony valódi képére illesztve.
3. ábra: Az (5) egyenletben megadott dimenziótlan maximális szélnyomás, w(x), a magasság függvényében megadva.
4. ábra: Az f(x) Eiffel-függvény köbös szélnyomás esetén, együtt ábrázolva a 2. ábra adatpontjaival, és az Eiffel-torony képével.
Eiffelnek tehát a torony megtervezésekor meg kellett határoznia a w(x) szélnyomás függvényt. Mielőtt a torony tervezésébe fogott volna, Eiffel sikeres hídtervezőként és hídépítő mérnökként dolgozott, ami kiválóan megalapozta a szélnyomás függvény meghatározásához szükséges tudását. Sikerének titkát az adta, hogy kiválóan ki tudta számolni a szabadon függő hidakra ható szélnyomás nagyságát. Képes volt tehát felismerni és megoldani a szélnyomás problémáját, és nagy pontossággal meghatározni a szél hatásából eredő erőket és forgatónyomatékot, amelyhez ugyanazon technikát használhatta a torony esetében, amit hidak építésénél már kellően kitapasztalt. A szélerők meghatározásával Eiffel már képes volt megalkotni a dimenziótlan szélnyomás w(x) képletét, amiből a torony alakját is azután papírra vethette.
Eiffel a torony hálós vasszerkezetével olyan könnyű struktúrát volt képes létrehozni, ami nem sokkal nehezebb, mint az azt körülvevő levegő súlya. Egy, a tornyot teljesen körülvevő, téglatest alakú dobozban (1252 m2 * 312 m térfogattal) a levegő tömege 6.28*106 kg, ami a torony 7.30*106 kg-os tömegének közel 86%-a! A torony térfogata 
=7.25*105 m3, átlagos sűrűsége pedig 10.1 kg/m3, ami mindössze a levegő sűrűségének 7.83-szorosa.
Az itt megadott számolásoknál a tornyot egy ideális merev, szilárd testnek feltételeztük, ami kb. 
=33.3 kN/m2 szélnyomásnak képes ellenállni felborulás nélkül. Ekkora szélnyomás léterhozásához mintegy 800 km/h-ás szélsebességre lenne szükség! Az Eiffel-torony építésétől eltelt időben a valaha volt legnagyobb szélsebességet 1999-ben mérték a torony csúcsánál, ami 214 km/h-ának adódott. Ekkora sebességű szél maximálisan 2.28 kN/m2-es nyomást képes a toronyra kifejteni. Eiffel, terveiben 4.00 kN/m2 szélnyomást vett alapul, ami kellően nagy biztonsági határ. Rácsos szerkezetének, és rugalmas tervezésének köszönhetően (a fenti szélrekord is mindössze 9 cm-es kilengéseket volt képes okozni a torony csúcsánál), a torony ellenállása a széllel szemben mindössze 12%-a az általunk számoltnak, ahol a szélnyomásnak egy idealizált modelljét vettük alapul, nevezetesen P(x)=2970 N/m2*w(x).
Az Eiffel-torony felállítását rögzítő szerződés a torony csupán 20 évig kapott fennállási engedélyt, az azóta beszedett látogatói díjak azonban mára messze felülmúlták az építési költségeket. Azért, hogy Eiffel a torony lebontását megakadályozza, Eiffel kísérletileg bizonyította a torony kihasználhatóságát a légdinamikában (Eiffel 1909-ben szélcsatornát készíttetett a toronyban, ahol sok éven át foglalkozott aerodinamikai kísérletekkel), a meteorológiában (a torony tetején kezdettől fogva egy meteorológiai állomás kapott helyet), valamint rádió- és távíró toronyként (Eiffel ebben taktikusan keltette fel a francia hadsereg érdeklődését). A tornyot évente látogatók milliói ma, több, mint száz éve a torony megnyitása után, kitűnő bizonyítékai Eiffel mérnöki és véleményformáló tehetségének.
Nem sokkal a torony 1889-es megnyitását követően a Francia Köztársaság elnöke is meglátogatta az építményt. Figyelmét azonnal megragadta annak a 72 francia tudósnak a neve, amelyek ma is megtalálhatók a torony első szintjén. A fizika- és matematikatörténet leghíresebb, és legfontosabb nevei találhatóak meg közöttük, beleértve az akkori elnök nagyapját, Lazare-t, aki mechanikában, mérnöki tudományokban és a geometriában alkotott maradandót. Meglehet, hogy családnevét egy ilyen bámulatos mérnöki építményen látva az elnök eszébe juttathatta családjának másik neves tagját, nagybátyját (Lazare fiát) és névrokonát, Sadi Carnot-t, a világhírű francia fizikust.